|
Иванова Елена Александровна Санкт-Петербургский государственный политехнический университет | |
Пьезоэлектрики
Существует множество кристаллов, обладающих пьезоэлектрическими свойствами. Пьезоэлектрические свойства проявляют себя как результат воздействия электромагнитных полей на материю. Пьезоэлектрические материалы можно разделить на два класса: полярные и неполярные пьезоэлектрики. Например, LiGaO2, Li2GeO3, CdTe, BaTiO3, PZT, Pb5Ge3O3 — полярные пьезоэлектрики, а α-HIO3, KH2PO4, TeO2, Bi12GeO20, Bi12SiO20, β-ZnS, α-SiO2. Качественное различие свойств полярных и неполярных пьезоэлектрических материалов состоит в том, что полярные материалы, в отличии от неполярных, имеют ненулевой дипольный момент единицы объема, т.е. они обладают спонтанной поляризацией. Однако, в классической теории пьезоэлектричества, основанной на уравнениях электростатики и симметричной теории упругости, нет качественного различия между полярными и неполярными материалами. Согласно классической теории, единственное отличие полярный и неполярных материалов в том, что пьезоэлектрические модули у полярных материалов значительно больше, чем у неполярных. Цель нашего исследования — описать пьезоэлектричество с учетом качественных особенностей полярных и неполярных материалов. Мы используем метод, предложенный П.А.Жилиным. Основные идеи этого метода заключаются в том, чтобы учитывать микроструктуру пьезоэлектрических материалов и использовать уравнения микрополярного континуума. Таким образом, исходя из рассмотрения микроструктуры пьезоэлектрических материалов, мы предлагаем две теории пьезоэлектричества, основанные на уравнениях микрополярного континуума. Первая теория описывает пьезоэлектрический эффект в полярных материалах. Эта теория основана на модели сложной частицы, обладающей ненулевым дипольным моментом. Вторая теория описывает пьезоэлектрический эффект в неполярных материалах. Эта теория основана на модели элементарной ячейки, которая имеет ненулевой квадрупольный момент и нулевой дипольный момент. При определенный упрощениях обе теории сводятся к классической теории пьезоэлектричества.
Полярные пьезоэлектрические материалы
 |
Основная идея — рассмотреть среду, состоящую из нейтральных диполей. Нейтральный диполь — это пара зарядов q+ = q and q- = - q, разнесенных в пространстве.
Диполь может перемещаться и вращаться в пространстве, а также изменять свое значение, т.е. он может растягиваться и сжиматься. Отсчетное положение диполя (см. рисунок) характеризуется следующими величинами.
Радиус-векторы R0+ и R0- определяют положения зарядов q+ и q-, соответственно, вектор l0 определяет
относительное положение зарядов диполя, радиус-вектор r0 определяет положение центра диполя. При переходе в актуальное положение заряды q+ и q- перемещаются в
точки, определяемые радиус-векторами R+ и R-, соответственно, центр диполя перемещается в точку, определяемую радиус-вектором r. Вектор l, определяющий
относительное положение зарядов диполя в актуальной конфигурации, равен R+ – R-. Величины, характеризующие перемещения центра диполя и его зарядов, определяются
следующим образом: u = r – r0, u+ = R+ – R0+,
u- = R- – R0-.
|
Предполагается, что воздействие электрического поля является внешним фактором. Есть два способа вычислить мощность внешних воздействий. С одной стороны, мощность внешних воздействий, приходящихся на единицу объема сплошной среды, равна сумме мощности распределенных сил и мощности распределенных моментов. С другой стороны, можно записать выражение для скорости изменения плотности энергии диполей, находящихся в электрическом поле. Используя длинноволновое приближение и хорошо известную формулу для силы, действующей на заряд: F = qE, где E — вектор электрического поля, после несложных преобразований получаем следующее выражение скорости изменения плотности энергии:
 |
Мощность внешних воздействий равна той части скорости изменения энергии, которая зависит от трансляционной и угловой скоростей. Следовательно, коэффициент при трансляционной скорости можно считать распределенной силой ρF, коэффициент при угловой скорости можно считать распределенным моментом ρL, а последнее слагаемое можно трактовать как величину Q, характеризующую подвод энергии от внешнего источника:
|  |
Подробное описание предложенной теории и сравнение этой теории с классической теорией пьезоэлектричества можно найти в [1], [2].
Неполярные пьезоэлектрические материалы
 |
Рассмотрим кристаллическую решетку, элементарная ячейка которой состоит из N ионов, обладающих зарядами qi (см. рисунок). В отсчетной конфигурации положение центра масс ячейки определяется радиус-вектором r, положения ионов определяются радиус-векторами ri = r + bi, где радиус-векторы bi определяют положения ионов относительно центра масс ячейки. Введем в рассмотрение электрические характеристики элементарной ячейки: полный заряд q, дипольный момент d и квадрупольный момент Q, которые вычисляются по формулам:
В кристаллах полный заряд элементарной ячейки равен нулю, тогда как дипольный момент d и квадрупольный момент Q могут быть нулевыми или ненулевыми, в зависимости от типа материала. Известно, что если полный заряд и дипольный момент равны нулю, то квадрупольный момент не зависит от точки, относительно которой от вычислен. Далее мы рассматриваем неполярные пьезоэлектрики, т.е. пьезоэлектрические материалы с нулевым дипольным моментом. Таким образом, q = 0 и d = 0. Для описания кинематики элементарной ячейки введем в рассмотрение векторы перемещений ионов ui. Далее все перемещения считаются малыми и используются следующие представления векторов перемещений ui и вектора поляризации pd:
Здесь u — вектор перемещений центра элементарной ячейки, φ — вектор малого поворота элементарной ячейки как жесткого целого, ξi — переменные, характеризующие деформацию элементарной ячейки. Предполагается, что перемещения ионов, связанные с деформацией элементарной ячейки, много меньше, чем перемещения ионов, связанные с движением элементарной ячейки как твердого тела. Иными словами, мы предполагаем, что |ξi| << |u| и |ξi| << |φ × bi|. Заметим, что формула для вектора поляризации pd справедлива только в случае неполярного пьезоэлектрического материала, т.е. когда q = 0 и d = 0. |
Далее, введем в рассмотрение объемную плотность квадрупольного момента, которая является параметром среды, и объемную плотность пьезоэлектрической поляризации, которая является одной из основных переменных:
|  |
Предполагается, что электрическое поле — внешний фактор. Исходя из этого предположения мы показываем, что распределенная сила ρF, распределенный момент ρL и величина Q, характеризующая подвод энергии от внешнего источника, имеют вид:
|  |
Подробное описание предложенной теории и сравнение этой теории с классической теорией пьезоэлектричества можно найти в [2].
Заключение
Выше рассмотрены две микрополярные теории пьезоэлектричества, основанные на континууме с внутренними степенями свободы. Одна из этих теорий описывает полярные пьезоэлектрические материалы, другая — неполярные. В отличие от классической теории, где определяющие уравнения устанавливают связь между вектором электрического поля E и вектором электрической индукции D, в предлагаемых микрополярных теориях определяющие уравнения связывают вектор электрического поля E и вектор поляризации Pp. Показано, что при определенных упрощающих предположениях предлагаемые теории пьезоэлектричества переходят в квази-классические теории. Эти квази-классические теории отличаются от классической теории пьезоэлектричества наличием дополнительных слагаемых пьезоэлектрической природы в уравнениях движения и определяющих уравнениях.
Публикации
Для просмотра PDF файлов можно загрузить бесплатную версию Adobe Acrobat Reader.
Инструкция для просмотра публикаций
